tanx求导等于多少

求导是微积分中的一个基本概念，它涉及到函数的斜率变化。对于正切函数 \(\tan(x)\)，其导数可以通过链式规则来计算，因为正切函数是三角函数 \( \sin(x) \) 与余切函数 \( \cot(x) \) 的关系，而 \( \sin(x) = \cos(x) / \cot(x) \)。

正切函数 \( \tan(x) \) 可以写作 \( \tan(x) = \sin(x) / \cos(x) \)。运用商规则来求导，如果 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，则 \( f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \)，这里 \( g(x) = \sin(x) \) 和 \( h(x) = \cos(x) \)。

所以，对 \( \tan(x) \) 求导，我们有：

\[
\frac{d}{dx}[\tan(x)] = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right) = \frac{\cos(x) \cdot \frac{d}{dx}\sin(x) - \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}\cos(x)}{[\cos(x)]^2}
\]

由于 \( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \) 和 \( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) \)，代入得：

\[
\frac{d}{dx}\tan(x) = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}
\]

这就是 \( \tan(x) \) 的导数，也写成 \(\sec^2(x)\) 的形式，其中 \(\sec(x)\) 是正弦函数的倒数，即 \(\sec(x) = 1/\cos(x)\)。

tanx求导的详细过程

正切函数 \(\tan(x)\) 的导数确实可以通过链式法则和三角函数关系来求得。具体步骤如下：

1. 定义：正切函数定义为正弦函数 \(\sin(x)\) 除以余弦函数 \(\cos(x)\)，即 \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)。

2. 应用商规则：对于两个函数的比值 \( \frac{g(x)}{h(x)} \)，其导数 \( \frac{dg}{dx} \) 可以通过商规则来计算。商规则的公式是 \( \frac{d}{dx}\left(\frac{g}{h}\right) = \frac{g'h - gh'}{(h')^2} \)，其中 \( g' \) 和 \( h' \) 分别是 \( g(x) \) 和 \( h(x) \) 的导数。

3. 导数计算：对于 \( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \)，它们的导数分别是 \( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \) 和 \( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) \)。将它们代入商规则公式，我们有：
\[
\frac{d}{dx}\tan(x) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)}
\]

4. 简化：继续简化上述表达式：
\[
\frac{d}{dx}\tan(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}
\]

5. 用正弦和余弦的关系：由于 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)，所以 \( \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x) \)，其中 \(\sec(x)\) 是正弦的倒数，即 \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\)。因此，我们得到：
\[
\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)
\]

这就是 \( \tan(x) \) 的导数，也是众所周知的结果。